01 / 不先求出完整函數
每個位置，都先留下一個斜率。
就算還沒解出公式，方程也能告訴你：在每個位置，曲線該往哪個方向走。把這些方向畫滿，就是方向場。
前兩頁從 y′=y 找到精確解，再畫出曲線。現在反過來：假設還不知道解的公式，能不能只從方程看出它大概怎麼走？
把一階方程寫成 y′=f(x,y)。在平面上選一個點 (x,y)，把座標代進 f，就得到解若經過這個點，必須具有的斜率。在那裡畫一小段這樣傾斜的線，再換很多個點做同樣的事，便得到方向場，也稱斜率場。
| 平面上的點 | 代入規則 | 由左往右看 |
|---|---|---|
| (0, 1) | f(0,1)=1 | 向上傾斜 |
| (1, 1) | f(1,1)=1 | 和上一點相同 |
| (0, 0) | f(0,0)=0 | 水平 |
| (0, −2) | f(0,−2)=−2 | 向下傾斜 |
所以 y′=y 的同一水平列，線段方向都相同。上半平面越高，正斜率越大；下半平面越低，負斜率的絕對值越大。這些短線描述局部限制，還沒有替你選定初始點。
斜率是座標中的 Δy/Δx。若 x 軸一單位與 y 軸一單位在螢幕上長度不同，斜率 1 不會看起來剛好是 45°。本頁依兩軸刻度換算方向；短線採固定畫面長度，長短不表示變化率大小。
02 / 延續初始條件
選定起點，讓曲線沿著規則前進。
跟著方向走，不是黏著某一小段直線走。往前一步高度變了，該走的方向也跟著變。
上一頁選出的初始點，可以直接帶到這頁。若從 (0,1) 出發，已知精確解是 eˣ；它在任一位置的切線，方向都必須符合當地短線。若從 (0,−1) 出發，就改成 −eˣ；從 (0,0) 出發，得到零解。
注意「符合方向」不是讓整條曲線黏住某一小段直線。曲線前進之後，到達新的高度，就會遇到新的斜率。對正值的 y′=y 解而言，高度增加，斜率也增加，所以軌跡逐漸往上彎。
先取消「顯示精確解曲線」，只看灰色方向。猜猜從初始點往右會如何走，再打開綠色曲線核對。圖能幫助形成猜測，但有限個短線或像素不能證明某個函數是解；前兩頁的代回與推導仍然必要。
兩條解曲線一定不會交叉嗎？
對 y′=y，同一點唯一決定 C，因此兩條不同的解不會交叉。一般方向場是否具有這個性質，要看初值問題是否唯一。上一頁 y′=3y2/3 的例子中，零解和 x³ 就通過同一個初始點；不能只憑一張圖，就宣稱所有方程的解都不相交。
03 / 從局部線性近似開始
把「大概往哪走」變成計算。
Euler 法把「大概往那邊走」寫成算式：量斜率、走一小步、再量一次。
用 xₙ 表示第 n 步的位置，yₙ 表示目前的近似高度。下標 n 是步數，從 0 開始。選定一個正步長 h，表示這一步沿 x 軸往右走多遠。
先在目前近似點算斜率。
mₙ = f(xₙ, yₙ)暫時把這個斜率視為整步不變。用直線估計高度變化。
Δy ≈ h mₙ加上這段變化，得到下一個近似點。
xₙ₊₁ = xₙ + h
yₙ₊₁ = yₙ + h f(xₙ, yₙ)在新點重新算斜率。每一步都更新，不能一直沿最初的斜率走。
這就是前向 Euler 法，本頁簡稱 Euler 法。更新公式中的等號定義了演算法算出的 yₙ₊₁；它並不宣稱 yₙ₊₁ 等於精確解在同一位置的值。
為什麼只有近似？真實曲線通常在一小步內就已經改變斜率，而 Euler 用一條直線走完整步。下一步又從近似點出發，所以誤差也可能隨著計算累積。
yₙ 與 y(xₙ) 要分清楚：前者是演算法累積得到的數，後者是精確解。Euler 算的是 f(xₙ,yₙ)，沒有偷偷拿精確高度當下一步的起點。
04 / y′=y，y(0)=1
不用跳步，從 1 算到 2.25。
一步一步照著算，數字才有感覺。這裡不跳步，每一步都寫出來。
本節固定初始點 (0,1)，步長 h=0.5，終點 x=1。若互動帶入了不同的初始點，畫面上的數值會隨它改變；下面是固定範例，方便逐行核對。
起點。x₀=0，y₀=1，所以目前斜率 f(0,1)=1。
第一步，從 x=0 到 x=0.5。
y₁ = 1 + 0.5 × 1 = 1.5到達近似點 (0.5,1.5)。現在重新算斜率，得到 1.5。
第二步，從 x=0.5 到 x=1。
y₂ = 1.5 + 0.5 × 1.5 = 2.25所以 Euler 的終點近似值是 2.25。
和同一位置的精確值比較。
y(1) = e ≈ 2.718282
|y₂ − y(1)| ≈ 0.468282
如果把兩步都沿斜率 1 前進，就會得到 2。那是一直沿初始切線外推，並沒有依 Euler 法在每一步重新更新斜率。
把步長縮小，並比較同一個終點
| 步長 h | 步數 | Euler 終值 | 絕對誤差 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 2 | 2.250000 | 0.468282 |
| 0.25 | 4 | 2.441406 | 0.276876 |
| 0.125 | 8 | 2.565785 | 0.152497 |
這個例子中，步長變小，結果更接近 e，但有限步長仍有誤差。比較時一定固定初始條件、方程和終點；若比較不同位置，數字就不能直接回答「哪個步長比較準」。
這個例子也能直接核對所有步數
因為 f(x,y)=y，每一步都是 yₙ₊₁=(1+h)yₙ。從 y₀=1 開始，連乘 n 次，得到 yₙ=(1+h)ⁿ。因此兩步是 1.5²，四步是 1.25⁴，八步是 1.125⁸。這是 Euler 近似數列的精確公式；微分方程的精確解仍是 eˣ。
是不是把步長減半，誤差就一定減半？
不是每次都剛好一半。在固定有限區間、解與 f 具有足夠光滑性且誤差傳播受控制時，前向 Euler 的全域誤差是一階，通常寫成 O(h)：h 充分小時，誤差可由某個常數乘 h 控制。這是條件下的量級敘述，不保證任意方程、任意步長的誤差都單調下降，也不消除浮點運算誤差。
05 / y′=x−y
水平的短線，不一定連成一條解。
把所有「斜率為 0」的位置連起來，那條線通常不是解。經過那裡，不代表它自己也遵守規則。
將互動切換成 y′=x−y。在同一高度移動 x，斜率也會改變：例如 (0,1) 的斜率是 −1，(1,1) 的斜率是 0，(2,1) 的斜率是 1。因此這次不能再只看高度。
所有滿足 y=x 的點，右側 x−y 都為 0，方向場在這些點留下水平短線。可是把函數 y=x 代進方程：左側 y′=1，右側 x−x=0，兩者不相等。連接「斜率為零的位置」得到的斜線，本身不是解。
這條 y=x 是零斜率的等斜線：描述哪些位置具有相同斜率。它和解曲線是不同物件。看到某一個點的短線水平，也不能因此判斷整條解是水平線。
切換後的綠色精確解從哪裡來？
這是後續一階線性方程的例子。此處先提供可直接驗證的公式：
求導得到 y′=1−Ae−(x−x₀)；計算右側 x−y 也得到同一式，因此符合方程。再代入 x=x₀，得到 x₀−1+A=y₀，符合初始條件。
特別在 (0,1) 出發時，A=2，解為 x−1+2e⁻ˣ。所以 x=1 的精確值是 2/e≈0.735759；h=0.5 的 Euler 終值則是 0.5。完整的求解方法會在「一階線性微分方程」展開。
06 / 帶走一套讀圖方式
分清規則、曲線和近似。
方向場是規則、初始點是選擇、Euler 是近似——三件事分開講，才不會把折線當成答案。
方向場由方程決定；初始條件選擇要追蹤的解；Euler 法用有限步長近似它。這三件事分開，才不會把畫面上的金色折線當成新的精確解。
互動只往右算一個 x 單位，並且只提供三種步長。這是觀察範圍的選擇，並不表示方程只能往右解、只能走一個單位，或所有數值方法都採相同步長。畫面邊界、數值近似失準和精確解不再存在，也必須分別判斷。
1. y′=y，從 (0,1) 用 h=0.25 走第一步，高度是多少？
看完整推理
初始斜率是 1，所以新高度為 1+0.25×1=1.25，新位置是 x=0.25。這是 Euler 值；精確高度 e0.25≈1.284025，兩者已經不同。
2. 對 y′=x−y，點 (2,2) 的短線水平，能推論 y=2 是解嗎？
看完整推理
不能。y=2 的導數處處為 0，但右側是 x−2，只在 x=2 為 0。這又回到第一頁的原則：在一點符合，不代表整個區間都符合。
3. 對 y′=y，從零初始高度出發，Euler 會偏離零嗎？
看完整推理
在本頁的精確初值 0 下，每一步都是 0+h×0=0，所以 Euler 和精確零解相同，誤差為 0。數值方法是近似方法，不表示它對每個特殊解都一定產生非零誤差。
從「什麼叫解」到「怎麼選解」，再到「不知道公式時如何觀察與近似」，這三頁完成了第一段連續閱讀。後續會把方程的結構拆清楚，逐步建立各種解法及它們的適用條件。
核對與延伸
來源與範圍
這三頁以一個自變數的常微分方程為主，使用無因次的數學例子。畫面只顯示有限區域；曲線離開畫面，不代表解在那裡終止。
圖像幫助觀察，代回運算才檢查例子是否滿足方程。存在與唯一性的一般理論、更多解析解法，留在後續主題詳細展開。
- Jiří Lebl · Introduction to differential equations：方程、解與驗解的定義。
- Jiří Lebl · Slope fields：方向場及初值解的條件。
- Jiří Lebl · Euler’s method：逐步近似與誤差。
- MIT OpenCourseWare · First Order Differential Equations：一階微分方程的概念、幾何及數值觀點。