當 x 前面的係數就是斜率
這種方程有個特點：x 前面乘的就是斜率本身。先猜「斜率固定」，馬上得到一整族直線。
先熟悉多個斜率分支與鏈鎖律。Clairaut 方程寫成
函數 f 是題目給定的，p 則沿解而變。先猜 p=c 為常數，便得到 y=cx+f(c)。其導數恰好為 c，代入原式成立，所以每個允許的 c 都給出一條直線。這是一族解；目前沒有理由說它包含全部解。
本頁集中看 f(p)=−p²，即 y=xp−p²。對原方程，我們要求解是 C¹（函數及一階導數連續）。下面為了微分 p，暫時在 C² 的光滑段落推導；找出的候選與接點會再逐一代回，不把額外的二階可微性誤當原題要求。
微分後的零乘積，兩個因子都要看
微分之後會得到「兩個東西相乘等於 0」。這代表兩種可能，不能只挑一個看。
先完整使用乘積律和鏈鎖律
y′ = p + xp′ + f′(p)p′
p = p + [x+f′(p)]p′左側 y′ 就是 p，因此兩側的 p 抵消。
保留零乘積
[x+f′(p)]p′ = 0不能直接除以 p′ 或另一個因子，因為兩者任一為零都可能產生解。
p′=0 的段落
p=c ⇒ y=cx+f(c)積分 p=c 得到的截距不是額外自由常數；代回原式會強制它等於 f(c)。
另一個因子為零
x = −f′(p)
y = f(p)−pf′(p)把 x 代回原式，得到參數曲線候選。它是否是 y(x)，以及實際斜率是否等於 p，還沒檢查。
零乘積不代表在整個解區間永遠是同一個因子為零。這正是稍後能以切點拼接的入口。也不能只解微分後的式子就收工：微分可能丟失原式對截距的限制。
主例：找出直線族漏掉的那條曲線
直線族之外，還有一條曲線也滿足方程。它不屬於那一族，所以叫奇解。
代入 f(p)=−p²，零乘積變為 (x−2p)p′=0。常斜率給出 y=cx−c²；另一條候選則由 x=2p 得到 p=x/2，再代回：
現在用這個 y 自己算導數，而不是只把參數叫作導數：
xy′ − (y′)² = x²/2 − x²/4 = x²/4 = y
所以它在全實軸都是解；它的斜率隨 x 改變，不可能由某一個固定常數 c 的直線得到。本例稱這條額外的曲線為奇解。這裡的「奇」指它不屬於那個常數參數直線族，不表示它有尖角、發散或在每一點不可微。
同時它也是直線族的包絡：隨 c 改變，每一條直線都在 (2c,c²) 與它相切。兩者不只值相等，導數也同為 c。還能直接看出它們的相對位置：
拋物線在所有直線上方，差距在 x=2c 變成零。圖中的移動切點是這個恆等式的具體呈現，並不是靠視覺猜出相切。
包絡候選，什麼時候能當成解？
包絡是那條被所有直線貼著的曲線。它能不能算解，要用原方程驗算，不能只看圖。
對一般直線族 L(x,c)=cx+f(c)，找相鄰直線聚合的候選位置會聯立 y=L(x,c) 與 ∂L/∂c=x+f′(c)=0，正好得到剛才的參數式。但幾何消去參數的結果，不一定是某個開區間上的可微函數。
假設 f 是 C²。在 x(p)=−f′(p)、y(p)=f(p)−pf′(p) 上，直接微分：
dy/dp = −p f″(p)
若 f″(p)≠0，x 對 p 在附近可反解，故 dy/dx=(dy/dp)/(dx/dp)=p；再結合原式的代數關係，才完成局部解的驗證。若 f″=0，這個充分條件失效，需要另外檢查，不能一律判有解或無解。
例如 f(p)=ap+b，得到的直線族是 y=c(x+a)+b。候選條件 x=−a 再代回 y=b，只剩一個點 (−a,b)；它不是定義在一個開 x 區間的解函數。所有直線通過同一點，不代表還多了一條可以稱為解的包絡曲線。
切線與包絡，可以接成一條解嗎？
兩段解要接起來，必須接在「方向剛好一樣」的地方，否則接點就不合法。
在主例中可以，但必須在相切的位置接。選兩個實數 a<b，令
y=x²/4，a ≤ x ≤ b
y=(b/2)x−b²/4，x > b
左接點 x=a 的值為 a²/4，左右導數都是 a/2；右接點 x=b 的值為 b²/4，左右導數都是 b/2。導數在三段分別是 a/2、x/2、b/2，所以整體為 C¹。各段滿足原式，接點也以同一組 (x,y,p) 滿足原式。它是一條真正的解，即使接點的二階導數從 0 跳到 1/2 或反向跳回。
互動使用 a=−b 的對稱例，讓你移動兩個接點。直線族、整條包絡與這些接合解，都由相同方程容許；只列「直線或包絡」會漏掉後者。本頁展示可驗證的解，不宣稱完成一般 C¹ 解的窮盡分類。
這也提醒我們別直接套用已解成 y′=f(x,y) 的唯一性結論。在 (0,0)，y=0 與 y=x²/4 不只位置相同，導數也同為 0。把本例當作 p 的二次式求根會得到
兩根在 x²−4y=0 合併，根號分支在邊界也不具備通常唯一性定理所需的正則條件。這與前面正規一階線性方程的唯一性並不矛盾。
試著驗證另一組包絡
換一組數字自己走一次：找直線族、找另一個因子、再代回原式驗算。
1. 對 y=xp−2p²，求直線族和包絡解，再找 c=1 的切點。
看完整推理
固定 p=c 得 y=cx−2c²。微分原式得 (x−4p)p′=0，另一分支為 p=x/4，代回得到 y=x²/8。它的導數確為 x/4，且 xy′−2(y′)²=x²/4−x²/8=x²/8。
c=1 的直線是 y=x−2，在 x=4 時包絡值為 2、斜率為 1，所以切點是 (4,2)。不能把原主例的 (2c,c²) 原封不動套過來。
2. 對 y=xp+2p+3，消去 p 後得到 (−2,3)，是否找到奇解？
看完整推理
固定 p=c 得 y=c(x+2)+3，這些直線都通過 (−2,3)。另一因子 x+2=0 只指定一個 x，代回 y=3。單一點沒有開區間上的函數與導數，故這個消去結果不構成一條解。這裡 f″=0，常用的局部包絡驗證不能使用。
3. 主例中，在 x=−2 和 x=2 把包絡接上切線，請寫出函數並檢查接點。
看完整推理
左切線斜率 −1、右切線斜率 1，所以
y=x²/4，−2 ≤ x ≤ 2
y=x−1，x > 2
在兩個接點，函數值都是 1。左接點的兩側導數同為 −1，右接點同為 1，因此 C¹。直線段分別滿足 xp−p²=−x−1、x−1，包絡段滿足 x²/4；在接點代入也得到 1。二階導數不連續不會讓這個一階方程的解失效。
下一頁：x 前面不再只是 p
把 x 前面的係數換成別的函數，那個好用的抵消就不見了。下一頁處理這種情況。
Clairaut 的關鍵抵消來自 y′=p 與 xp 微分後的 p。若 x 前面換成一般 φ(p)，抵消不再完整，卻可能得到一個熟悉的線性方程——這次未知函數是 x(p)。下一頁會檢查這個交換自變數的過程，並補回被分母排除的常斜率解。
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。
- Vladimir Dobrushkin · Brown University · Clairaut equations：核對 Clairaut 標準形式、零乘積與包絡的推導；本文例題另以原式驗算。
- MIT · The Implicit Function Theorem：核對參數曲線的局部反解條件。