積分因子Integrating factors

從乘積法則反問一次

積分因子的想法很單純：整條式子乘上一個函數，讓左邊剛好變成某個乘積微分後的樣子。

先在一個開區間 I 上考慮 y′+p(x)y=q(x)，並假設 p、q 連續。希望找一個可微且處處非零的函數 μ(x)，使乘過去的左側正好是 (μy)′：

但乘積法則給的其實是

兩式的 y′ 項已相同；要讓 y 的係數也相同，必須要求 μ′=pμ。這是我們選擇 μ 的方程，不是假定某一條 y 的特殊形狀。

1. 先選一個 p 的原函數

   P(x) = ∫^x_x₀ p(s) ds

   s 是積分內的虛變數，避免把積分上限 x 與被積變數混在一起。P′=p。

2. 讓指數的微分帶出 p

   μ(x) = e^P(x)
   μ′ = P′e^P = pμ

   指數處處為正，所以這個選擇不會把原本的方程乘成 0，也可以安全除回去。

3. 把整體當成一次微分

   (μy)′ = μq

   已知右側就能積分。真正簡化的是微分結構，不一定是積分的外觀。

把初始條件直接放進定積分

把初始條件直接寫進定積分，解和它的有效範圍就一起確定了。

使用上面以 x₀ 為起點的 P，有 μ(x₀)=1。將 (μy)′=μq 從 x₀ 積到 x，微積分基本定理給出

任一 x∈I 與 x₀ 之間都是 I 內的有限閉區段，連續被積函數在其上可積。因此公式在整個 I 有定義。微分公式得到原式，代入 x=x₀ 得到初值；若兩解同初值，其差 w 使 (μw)′=0 且 w(x₀)=0，所以 w=0。這也說明了唯一性。

也常寫 μ=e^{∫p dx}，再用不定積分求 μy=∫μq dx+C。算 μ 時可以省略積分常數：任何固定非零倍數 Kμ 都能用，左右與積分常數一起縮放後，得到同一解族。K=0 不行，它會把資訊全部抹掉。

完整例題：xy′+2y=x²，y(1)=1

完整算一次：選區間、算因子、乘開、積分、代初值、最後代回檢查。

1. 先選含初始點的區間

   x > 0；y′ + (2/x)y = x

   除以 x 前先排除 x=0。取 I=(0,∞)，p=2/x 與 q=x 都連續。

2. 算出因子並逐項相乘

   μ=e^{∫(2/x) dx}
   =e^{2ln x}=x²

   標準式乘 x² 後是 x²y′+2xy=x³。注意：是對標準式乘因子，不是跳過除以 x 這一步。

3. 辨認乘積並積分

   (x²y)′=x³ ⇒ x²y=x⁴/4+C

   左側由乘積法則直接驗證。右側積分後不要忘記常數。

4. 解出 y 與常數

   y=x²/4+C/x²
   1=1/4+C ⇒ C=3/4

   得到 y=x²/4+3/(4x²)。這條初值解的區間是 (0,∞)。

5. 回到未除法的原方程驗算

   y′=x/2−3/(2x³)

   xy′+2y=(x²/2−3/(2x²))+(x²/2+3/(2x²))=x²兩個倒數項相消，且 y(1)=1。

在負半軸，也可用 μ=x²，因為 e^2ln|x|=x²。但這是另一個區間上的求解；不能把穿過零的兩段視為同一個初值問題。對本題初值，3/(4x²) 在零附近發散，確實無法延伸過去。若改成 y(1)=1/4，C=0 的特殊解 x²/4 則能滿足原式跨過零；正常化的禁點與原式的可延伸性要分開檢查。

為什麼不能隨便挑一個因子？

因子不能亂挑。挑錯時左邊會差一項，那一項不會自己消失。

對任意可微 μ，兩邊的差不是一句「看起來像」就能忽略：

上圖的 p=2/x。若 μ=xᵏ，缺口為 (k−2)x^k−1y。只有 k=2 能對任意 y 把它變為零。在一個點差值碰巧為零，也不足以證明整段的恆等式。

另外，∫p(x)y(x) dx 不能把未知的 y 當常數提出；p 與 y 一般都隨 x 變。積分因子的價值，正是在積分以前先把這個麻煩改寫掉。

練習：求因子，也檢查除法

求出因子只做完一半；另一半是檢查你除掉的東西，有沒有順手把某條解也除掉。

公式中的兩項，各自帶著什麼訊息？

公式算出來之後，還可以再問一句：這兩項各自在說什麼？

初值項與積分項已經出現了。接下來把它們放進一個有單位的冷卻模型，看初始差異如何消退、環境輸入如何持續影響結果。

來源與範圍

定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。

• Jiří Lebl · Linear equations and the integrating factor：一階線性形式、乘積微分與連續係數下的解。