先找未知函數與自變數
分類不是為了貼標籤，是為了先知道能用哪些工具。第一步永遠是問：未知的是誰？它跟著誰變？
分類是描述結構的語言。它能縮小可嘗試的方法，卻不是「看到標籤就一定能算出答案」的保證。此頁的 x、y 都是無因次數學變數；y′ 表示 dy/dx。
在 y′=y 中，未知的是一個函數 y(x)。雖然算式同時出現 x 和 y，它仍只有一個自變數 x：y 是隨 x 決定的應變數，因此是常微分方程（ODE）。
上式使用偏導數：對 t 微分時固定 x；對 x 微分時固定 t。它是偏微分方程（PDE）。本系列主要研究 ODE，不在這裡展開 PDE 解法。
階數：最高微分到哪裡？
階數就是「微分到第幾層」。只看最高的那一層，和式子長不長、係數複不複雜都無關。
y′ 是一階導數，y″ 是二階導數。階數是方程實際含有的最高階導數。先整理恆等抵消的項，再看留下什麼；不是數有幾個撇號或幾個項。
因此「高階」與「高次」不是同義詞。高階增加了導數的層次；高次涉及導數在代數形式中的冪。不能把一階高次章節誤讀成二階方程。
線性：未知量能否只出現一次？
線性說的是未知函數出場的方式：只能單獨、一次地出現。它跟圖形是不是直線沒有關係。
在一段研究區間內，線性 ODE 可以寫成：
y 與各階導數只以一次出現，彼此不相乘，也不放入平方、sin 或指數等非線性函數中。係數只能由自變數給定，不能偷偷含有未知的 y。
讀一條看起來很長的式子
(1+x²)y″ + sin(x)y′ + y = eˣ未知量是 y、y′、y″；係數分別是 1+x²、sin(x)、1，都只依賴 x。
判斷最高階與線性
最高導數 y″；係數 1+x² > 0它在整條實數軸保持二階，且是線性方程。sin(x) 不是 sin(y)，不會破壞線性。
區分是否有外加項
g(x) = eˣ ≠ 0移項成標準式後，右側不含 y 且不為零，所以叫線性「非齊次」。非齊次仍可線性。
短，卻非線性
y′=y²：未知量平方。
y y′=x：未知量與自己的導數相乘。
y′+sin(y)=0：未知量放進 sin。
長，仍可線性
(1+x²)y″+sin(x)y′+y=eˣ：變係數與外加項不等於非線性。線性也不代表一定有簡單的初等公式。
若 g(x) 恆為零，才叫線性齊次。所以 y′=y 等價於 y′−y=0，是線性齊次；y′−y=x 是線性非齊次。非線性方程不套用這一組線性分類。
把 y′=y² 除以 y 得到 y′/y=y，並沒有把它變線性：左側係數 1/y 仍依賴未知量，還額外排除了零解。
次數：先確認導數是多項式形式
次數看的是導數被乘了幾次方。一階可以是高次，高階也可以是一次，兩件事不要混在一起。
此處採常見的 degree 定義：把式子整理成對各階導數的多項式形式後，最高階導數的最高冪次，就是方程的次數。係數仍可含 x、y。要先確認這個定義能用，才填數字。
| 方程 | 階數 | 次數 | 原因 |
|---|---|---|---|
| y′=y² | 1 | 1 | 最高導數 y′ 沒有平方。 |
| (y′)²=y | 1 | 2 | 最高導數被平方。 |
| y″+(y′)³=0 | 2 | 1 | 看 y″ 的冪，並非全式最大的 3。 |
| sin(y′)=y | 1 | 未定義 | 不是導數的多項式形式。 |
平方、開根、除以式子不是免費的整理。它們可能增減解，還可能改變 degree 的表面讀值。例如 y′=y 與 (y′−y)²=0 有相同的實數解條件，但寫成多項式時的冪不同。degree 是指定方程形式的描述，不能單獨當成解集或難度的永久標籤。
若用平方去掉根號，最後必須保留原符號條件並代回；若用 arcsin 反解 sin(y′)=y，主值不涵蓋所有角度分支。這頁不靠不等價操作勉強賦予 degree。
用四個問題讀一條方程
照順序問四個問題，陌生的方程就能歸位：幾個自變數、幾階、線性嗎、幾次。
依序問：未知函數依賴幾個自變數？最高導數到幾階？未知量是否線性出現？若是導數多項式，最高階導數的冪是多少？
1. y″+(y′)³=0 是二階三次嗎？
看完整推理
不是。它是二階一次、非線性 ODE：最高階是 y″，而它的冪為 1；(y′)³ 使它非線性，但不把 degree 變成 3。
2. x y′+y=1 的係數在 x=0 為零，能直接除以 x 嗎？
看完整推理
只能在 x≠0 的區間除。原式在 x=0 要求 y(0)=1；除後 y′+y/x=1/x 則在該點無定義。方程的線性形式仍可辨認，但用一階正常化理論時必須分區間。
3. y′−y=sin(x) 是非線性嗎？
看完整推理
它是一階一次、線性非齊次 ODE。sin 的輸入是已知的 x，沒有對未知 y 作非線性運算。右側 sin(x) 不恆為零，所以不是線性齊次。
分類說明了方程長什麼樣子；下一頁再問更根本的事：給定初始點，解是否存在、是否只有一個？
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。
- Jiří Lebl · Classification：ODE/PDE、階數、線性與齊次的基本定義。
- NCERT / IIT Kanpur SATHEE · Differential Equations：order 與 degree 的多項式語境。