可分離，指的是哪兩部分？
如果變化率能拆成「只跟 x 有關的部分 × 只跟 y 有關的部分」，就能把兩邊分開各自處理。
若一階方程能寫成：
就稱為可分離微分方程。y′=y 可看成 f(x)=1、g(y)=y；y′=2xy 則是 f(x)=2x、g(y)=y。變化率雖同時依賴 x 與 y，卻能拆成兩個各自只含一種變數的因子。
y′=x+y 就沒有這種直接的乘積形式，不能「把 x+y 拆兩邊」當成分離。某些方程經代換可以變可分離，但那是後面的另一個步驟。
微積分提醒：鏈鎖律
若 H 的輸入是 y(x)，對 x 微分要同時算外層與內層：dH(y(x))/dx=H′(y(x))y′(x)。例如 d(y²/2)/dx=y y′；d ln|y|/dx=y′/y，但後者只在 y≠0 時成立。
分離積分來自鏈鎖律
把 dy 和 dx 搬來搬去看起來像分數運算，但真正的理由是鏈鎖律。這一段把理由補上。
先假設在一段區間內 g(y(x))≠0，且 f、g 在所需範圍連續。取反導函數 H，使 H′(u)=1/g(u)，u 只是積分時的暫用變數。
先除以非零因子
y′/g(y) = f(x)這一步已限制在 g(y) 不為零的解段；不能忘記這個前提。
把左側認成複合函數的導數
dH(y(x))/dx = H′(y(x))y′(x) = f(x)這就是鏈鎖律。H 的外層導數是 1/g，內層導數是 y′。
兩側對同一個 x 積分
H(y(x)) = ∫ f(x) dx + C兩側做的是相同運算。左側用微積分基本定理還原 H，C 是一個任意常數。
以慣用記號書寫
∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx + Cdy 的寫法簡潔地表達代換積分，不需要把 dy/dx 當成普通分數硬消去。
若兩邊各寫一個積分常數，移到同一側後只留下它們的差，仍是一個任意常數。最後不一定能顯式解出 y；得到 H(y)=F(x)+C 也可能已是有用的隱式表示。
先補回可能漏掉的解。每個滿足 g(c)=0 的常數 c 都值得代回：若原式在該處有定義，y(x)=c 的導數為零，右側也為零，所以是平衡解。若唯一性條件失效，還可能有在平衡值停留後才離開的解，不能只列常數解就宣稱已找全。
完整例題：y′=2xy，y(0)=2
完整走一次：分離、積分、用初值定常數、最後代回檢查。四步都做完才算解完。
相較於 y′=y，現在的係數 2x 隨位置改變；我們第一次真的由微分方程求出函數，而不是先知道答案再檢查。
辨識形式，列出除零情況
f(x)=2x，g(y)=y；y=0 是解初值 2 不在零解上，所以先在包含 x=0 的非零解段計算。
分離並積分
y′/y=2x ⇒ ln|y|=x²+C₁左側是 ln|y(x)| 的導數；右側積分為 x²。不是把 y 當常數積分。
還原指數與符號
|y|=eC₁ex² ⇒ y=Aex²e^(C₁)>0；在連通的非零解段上，y 的正負不會突然改變。吸收正負後 A 可以是任意非零實數。
用初值選常數
2=Ae⁰ ⇒ A=2得到 y=2e^(x²)。零解雖不滿足此初值，仍屬原方程的解族。
分別驗方程與初值
y′=4xex² = 2x(2ex²) = 2xy鏈鎖律帶出 2x；代 x=0 得 y(0)=2。兩項檢查都不可省。
交代區間與完整解族
y=Aex²，A∈ℝ；x∈ℝ補回 A=0 的零解。f=2xy 及 fᵧ=2x 處處連續，各初值唯一；每個 y(0) 都由 A 取到，因此此例沒有漏掉穿零或等待分支。
圖中的 2e≈5.436563 是 x=1 的值，小數只是顯示近似。解的解析式 2e^(x²) 本身是精確的。x<0 時，正解的斜率 2xy 為負；x>0 時為正，因此最低點在 x=0。
不是每個右側都能直接分離
除以 y 之前要先問：y 會不會等於 0？被除掉的那一條，常常就是漏掉的解。
y′=x+y 看似只有兩項，卻沒有 y′=f(x)g(y) 的直接分離。把它寫成 dy/(x+y)=dx 再「對 y 積分」時，分母仍含正在變動的 x；你沒有完成上述 H(y) 的構造。
而 y′=y(1−y) 確實可分離，卻不能直接宣布只有積分所得的非零式子。除以 y(1−y) 前先列出 y=0 與 y=1，兩者都要代回。在自治方程頁，我們會利用這兩個平衡值解釋整體走勢。
這提醒我們：可分離不保證積分容易，也不保證積分後能用初等函數解出 y。方法提供結構，還要配合積分、反函數及有效區間的檢查。
從形式辨識，一路做到代回
認形式 → 分離 → 積分 → 定常數 → 代回。中間任何一步有條件，都要寫出來。
1. y′=2xy、y(0)=−1，解及有效區間是什麼？
看完整推理
同樣積分得 ln|y|=x²+C₁，非零解為 Ae^(x²)。初值給 A=−1，所以 y=−e^(x²)，在整個實數範圍成立。導數 −2xe^(x²)=2xy，且 y(0)=−1。負號不會因取指數消失。
2. 用分離法，重新求 y′=y、y(0)=3。
看完整推理
先列 y=0；對非零解 y′/y=1，積分得 ln|y|=x+C₁，再合併符號成 y=Aeˣ。y(0)=3 得 A=3，故 y=3eˣ。微分回來仍為 3eˣ，初值也正確，區間為 ℝ。現在知道前面解族 Ceˣ 的由來。
3. y′=(1+x²)(y−3)，y(0)=3，除以 y−3 再求常數可行嗎？
看完整推理
不能用那段除法涵蓋此解。先試 y=3：導數 0，右側也 0，且滿足初值。其他解的積分給 y=3+A e^(x+x³/3)，A≠0；補回 A=0 後含此零因子分支。因 fᵧ=1+x² 連續，初值 y(0)=3 只選出平衡解。
得到公式，還沒結束
有了公式還不算結束，因為公式可能在某些 x 根本沒有定義。
我們已經有第一套完整解法：辨識乘積形式、保留零因子、用鏈鎖律分離積分、代初值、回原式驗證。下一頁要處理留下的兩件事：沒有解出 y 的等式算不算解？公式可用的最大區間怎麼決定？
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題推導與互動另行編寫；圖上小數是近似顯示，數學結論由推導及代回支持。本頁不證明所引用的一般存在唯一性定理。
- Jiří Lebl · Separable equations：分離積分、鏈鎖律、零解與隱式表示。