一階，為什麼還叫高次？
「一階」說的是最多微分一次；「高次」說的是那個導數被乘了幾次方。兩件事各自獨立。
這一頁需要前面的階數與分類、分離變數及解的區間。先縮寫 p=y′，把問題寫成 F(x,y,p)=0。階數問最高出現第幾階導數；次數則在方程可寫為導數的多項式時，問最高階導數的最高冪次。
相反地，y″+y=0 是二階一次。sin(y′)=x 雖然仍是一階，卻不能直接依這個多項式定義報出次數。「高次」也不是「多微分幾次就能解」的指令；微分可能改變解的集合。本頁只討論實數、連續可微的 y(x)，並要求原方程在解的整個區間成立。
先看每一點允許哪些斜率
同一個點，方程可能允許好幾個斜率。這時只給位置還不夠，還要說走的是哪一支。
在 p²=4y 中，固定 (x,y) 後，先把 p 當代數未知數：
y = 0：p = 0
y > 0：p = +2√y 或 −2√y
所以初始條件 y(1)=1 並沒有挑出唯一方向。直接檢查兩個候選：
上升的那條
y=x²，y′=2x
(y′)²=4x²=4y在 x=1，值是 1、斜率是 2。
下降的那條
y=(x−2)²，y′=2(x−2)
(y′)²=4(x−2)²=4y在同一點，值仍是 1，斜率卻是 −2。兩條都是原式的全實軸解。
一個點畫一根小線段的方向場，適合已選定的 y′=f(x,y)。若直接拿來代表整個隱式方程，這裡需要在 y>0 同時保留兩個方向。當 F 對變數連續可微、某個根滿足 Fp≠0，隱函數定理允許在該根附近解出一條 p=f(x,y) 分支；這是局部結論，也沒有消除其他根。本例 Fp=2p，在 y=0 的根上恰好失效。
解出 p：根號的正負也有區間
在 y > 0 的連通區間，先固定正號或負號再分離變數；斜率若要換號，必須先走到 y = 0。
在一段 y>0 的連通區間，連續的 p 不可能從正變負而不經過 0；但 p=0 又要求 y=0。因此先固定符號 s=+1 或 −1，再分離變數：
選定斜率分支
y′ = 2s√y只在 y>0 的區間除以 √y，不能把零解一起除掉。
積分前看見一個導數
(√y)′ = y′/(2√y) = s
√y = sx + C這一行仍保留了根號左側必須非負的資訊。
平方後保留條件
y = (sx+C)²，且 sx+C > 0在目前的正值區間用嚴格大於。若走到零點，能否延伸須再檢查。
平方後的拋物線作為 p²=4y 的候選，可以穿過頂點；但頂點兩側屬於不同的根號分支。例如 y=x² 在 x>0 滿足 y′=+2√y，在 x<0 滿足 y′=−2√y。原方程的同一條解，不必永遠留在同一個根號符號。每次換支，仍須檢查接點。
值接得上，導數也得接得上
兩段要接成一條解，光是高度接得上不夠，斜率也必須接得上。
先補回除法漏掉的 y=0：導數為零，代入 p²=4y 成立。它還能和拋物線組成一組等待解。任取 b≥0，定義
y(x) = 0，0 ≤ x ≤ b
y(x) = (x−b)²，x > b
在 x=0 與 x=b，兩側函數值都是 0；一側導數是 2x 或 2(x−b)，另一側是 0，極限同樣是 0。因此 y′ 連續，且接點本身也滿足 0²=4·0。這確實是一條 C¹ 解。b>0 時接點通常沒有二階導數，卻不妨礙一階原式成立；b=0 時則回到光滑的 y=x²。
現在試著把通過 (1,1) 的兩條拋物線接起來：
y=(x−2)²，x > 1
接點兩側的值都是 1，但左導數是 2，右導數是 −2。在 x=1 沒有導數，所以這條連續曲線不能作為跨過 1 的解。不能用「除接點外都滿足」代替原題的「整個區間都滿足」。上面的等待解是具體可行的拼接例，不宣稱已窮盡所有解。
也可以先解出 y 或 x
解不出 p 的時候，可以反過來解 y 或 x，把斜率本身當成參數。
三種整理方式是在找可用的未知函數，不是三套保證成功的公式。如果原式容易寫成 y=G(x,p)，就在 p 可微的局部光滑段使用鏈鎖律：
例如本題 y=p²/4，得到 p=(p/2)p′。保留 p=0 後，在 p≠0 的段落除法得到 p′=2，所以 p=2x+C，等價地 x=p/2+C₁、y=p²/4。這條路把斜率本身變成參數，但微分原式時暫時要求 y 至少有二階導數；前面那些只具 C¹ 的接點，要回到原式個別驗證。
若較容易解出 x=H(y,p)，可以在 p≠0 的局部把 y 當自變數：
1/p = Hy + Hp·dp/dy
例如 x=y+p² 變成 1/p=1+2p·dp/dy，因而
這一步需要局部可反解的 y(x)，並且分母不能為零；整理後也未必是線性方程。常斜率 p=1 給 y=x−1，代入 x=y+p² 確實成立。p=0 不能靠除法保留，必須另查：若整段 p=0，y 是常數，原式卻要求 x=y，不可能在一個開區間都成立。被除掉的分支可能是解，也可能不是；答案來自代回。
試著自己分支，再看推理
先自己分支、自己驗解，再看推理。轉彎的地方特別容易出錯。
1. (y′−1)(y′+2)=0 的 C¹ 解，可以隨時在兩種斜率間切換嗎？
看完整推理
令 p=y′，每一點只能取 1 或 −2。因為 p 連續，若在連通區間取過兩個值，中間值定理會迫使它取 0 等中間值，違反原式。所以整段 p 必須固定。
兩族代入都成立。即使兩條直線相交，也因斜率不同而無法在交點拼成 C¹ 解。
2. 對 p²=4y，y(0)=−1 有解嗎？y(0)=0 是否只有零解？
看完整推理
前者在初始點要求 p²=−4，沒有實數斜率，因此連局部實解都不存在。後者至少有 y=0 與 y=x²，兩者值和初始斜率都是 0，也都滿足原式。還能採用正文任意 b≥0 的等待解。單給初始位置，甚至補上這裡被強制的零斜率，都沒有唯一性。
3. 把 √y=−x+2 平方得到 y=(x−2)²，能說它處處滿足 y′=−2√y 嗎？
看完整推理
不能。原根號等式要求 −x+2≥0，即 x≤2。實際導數為 2(x−2)，右側為 −2|x−2|，只有 x≤2 相等；在 x>2，左側為正而右側為負。這條拋物線仍在全實軸滿足平方後的隱式原方程 p²=4y，但已不是全實軸上的負根分支解。
下一頁：直線之外，還有什麼解？
下一頁的方程一次給出一整族直線，另外還藏著一條貼著它們的曲線。
現在每次除法前會留下被排除的情況，拼接前也會檢查導數。接下來的 Clairaut 方程會一次給出整族直線；微分後剩下的另一個因子，則帶出與每條直線相切的曲線。它能不能也算解，要從同一個原式開始判斷。
來源與範圍
定義與定理條件依下列作者／大學教材核對。本文的說明、例題與互動另行推導編寫。圖上小數是近似顯示；一般定理的引用不等於圖形能證明它。本頁以原式代回與明確的區間支持例題結論。
- Jiří Lebl · Classification of differential equations：核對階數與常微分方程分類。
- IIT Kanpur SATHEE · Differential Equation：核對導數多項式下的次數定義。
- MIT · The Implicit Function Theorem：核對非零偏導下的局部反解條件。