01 / 從數走到函數
我們要找的，是一整條變化。
一般的方程式問「哪個數字對」；微分方程問「哪一整條曲線，從頭到尾都照這條規則走」。要找的答案是一個函數。
看到 2a + 1 = 7，我們找的是一個數：a = 3。把 3 代回去，左右相等，問題就解決了。
現在換一個問題：有一個量隨著 x 改變，它在每個位置的變化率，都等於當下的值。究竟哪個函數能一直遵守這條規則？
這就是一個微分方程。它把未知函數及其導數放在同一個等式裡，描述兩者必須滿足的關係。這裡未知的是整個 y(x)，不只是某個位置上的一個數。
函數告訴你結果
y(x) = eˣ
給定 x，就能算出 y。
微分方程告訴你規則
y′(x) = y(x)
還不知道完整函數，但知道變化率和函數值如何相連。
規則和結果的方向不同：從函數求導，可以檢查它遵守什麼規則；從微分方程出發，則想找出哪些函數能遵守規則。
02 / 符號有各自的位置
高度，和高度正在怎麼變。
y 是現在有多高，y′ 是現在正在變多快。這一頁的方程要求這兩個數字在每一點都剛好相等。
x 是自變數：我們沿著它觀察變化。y(x) 是應變數：它的值依 x 而定。在圖上，x 是橫座標，y 是高度。
y′(x) 讀作「y 的導數」，也可寫成 dy/dx。它描述 x 改變一點時，y 對這個改變的反應；圖像上對應該點的切線斜率。
例如在某一點，若 y′ = 2，x 向右增加很小的 0.01，y 大約增加 0.02。若導數為負，曲線向右走時下降；導數為 0，切線是水平的。
想複習：導數怎麼從平均變化率出現？
先取兩點，相差 h。平均變化率是 [y(x+h)−y(x)]/h，對應兩點連線的斜率。
讓 h 越來越接近 0；若這個比值有極限，就定義為該點的導數：
極限並非把 h 直接代成 0。那會得到沒有意義的除零式。它問的是：h 趨近 0 的過程中，比值趨近哪裡？
因此 y′ = y 的意思很具體：若某點高度為 2，方程就要求斜率為 2；高度為 −1，要求斜率為 −1；高度為 0，要求水平。
斜率是 Δy/Δx，不是高度。這個方程特別要求兩個數值相等，才把高度和斜率連起來。一般函數沒有這個性質。
03 / 逐步代回
eˣ 為什麼是解？
檢查一個函數是不是解，可以先求導數，再代回原式，確認它在所選區間內每一點都成立。
自然指數函數 eˣ 有一個性質：對 x 微分後仍是自己。這是本例用到的微積分結果；e ≈ 2.71828 是固定常數，x 才是變數。
先提出候選。這一步是指定要檢查的函數，還沒有證明。
y(x) = eˣ計算候選的導數。使用自然指數的微分規則。
y′(x) = eˣ代進微分方程左、右兩邊。
左邊 y′(x) = eˣ右邊 y(x) = eˣ比較。不論 x 取哪個實數，兩邊都相等。
y′(x) − y(x) = 0
所以 y(x)=eˣ 在整個實數範圍上滿足方程，是它的一個解。這個結論來自代回後的恆等式；拖動滑桿只是把它呈現出來。
「是解」必須連同區間來說
一個解要在考慮的區間內有方程所需的導數，並在每一個點滿足等式。若公式在某點沒定義，就不能假裝它跨過那個點仍然是同一段解。
本例的 eˣ 在所有實數都有定義且可微，所以不用切分區間。後面遇到分母、對數或發散的解時，區間會成為求解的一部分。
04 / 一個容易看錯的地方
碰巧相等，不等於一直遵守。
某一點剛好對，不算是解。方程要的是整段路上每一點都對；找到一個不對的點，就足以否決它。
再看候選 y=x+1。它是一條斜率固定為 1 的直線，因此 y′=1。
| x | 高度 y | 導數 y′ | 是否相等 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 這一點相等 |
| 1 | 2 | 1 | 不相等 |
在 x=0，它和 eˣ 恰好有相同的高度與切線。然而往右走，直線的斜率維持 1，方程要求的斜率卻跟著高度變大。它只在一點符合，不是 y′=y 在任何非零長度區間上的解。
回到互動，選「y=x+1」，先停在 x=0，再移向右邊。金色實際切線和藍色要求方向會分開。
兩種看起來很簡單的常數函數
y=1 的導數是 0，所以方程會要求 0=1，不成立。y=0 的導數也是 0，但此時要求的是 0=0，處處成立。
零函數也是一個完整的解。解不一定要上升、振盪，甚至不一定要彎曲。
05 / 方程描述什麼
變化規則，需要寫清楚前提。
同一條式子可以描述很多真實情況，但你得先講清楚每個符號代表什麼、單位是什麼。
如果一個量的變化率和它目前的大小成正比，就可以先用 dy/dt=ky 建模。k 是比例常數；正值、負值與零，描述不同的變化規則。
當 t 有時間單位時，k 必須有「每單位時間」的單位，兩邊才一致。本頁的 y′=y 是無因次的數學例子，相當於比例係數取 1；不是說任何真實系統都照這個速度成長。
建立微分方程、求出解、檢查模型是否貼近現實，是三件相關但不同的工作。數學解完全正確，也可能建立在不適用的物理假設上。
常微分方程和偏微分方程有何不同？
當未知函數只有一個自變數，例如 y(x)，使用普通導數的方程稱為常微分方程，英文縮寫 ODE。
若溫度同時依位置與時間變化，函數會有多個自變數；描述不同方向變化的方程可能含偏導數，稱為偏微分方程，縮寫 PDE。本段系列先處理 ODE。
06 / 把想法用一次
先判斷，再展開核對。
先自己判斷，再展開推理，看看哪一步和你的想法不同。
1. y=3eˣ，也是 y′=y 的解嗎？
看完整推理
3 是常數，微分時保留：y′=3eˣ。右邊的 y 也是 3eˣ，每個實數 x 都成立。因此它也是解；方程沒有只允許 eˣ 這一條曲線。
2. y=eˣ+2，還是同一個方程的解嗎？
看完整推理
常數 2 的導數為 0，所以 y′=eˣ。但 y=eˣ+2，兩者始終差 2，不是解。把函數「乘上常數」和「加上常數」是不同操作。
3. 圖上檢查了很多點，都符合，就算證明了嗎？
看完整推理
有限個點只能提供那些點的證據。區間內還有其他點；要證明這個明確候選是解，可以像上面那樣求導、代回，確認得到在整個區間成立的恆等式。只要找到一個不成立的點，就能否決它在包含該點的區間上是解。
現在我們已找到 eˣ、3eˣ 和 0。同一條變化規則，為什麼留下這麼多解？下一頁用「初始條件」把一整族曲線縮成一條。
核對與延伸
來源與範圍
這三頁以一個自變數的常微分方程為主，使用無因次的數學例子。畫面只顯示有限區域；曲線離開畫面，不代表解在那裡終止。
圖像幫助觀察，代回運算才檢查例子是否滿足方程。存在與唯一性的一般理論、更多解析解法，留在後續主題詳細展開。
- Jiří Lebl · Introduction to differential equations：方程、解與驗解的定義。
- Jiří Lebl · Slope fields：方向場及初值解的條件。
- Jiří Lebl · Euler’s method：逐步近似與誤差。
- MIT OpenCourseWare · First Order Differential Equations：一階微分方程的概念、幾何及數值觀點。